如图,直角三角形ABC,角C=90度,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,AN=MC,AM与BN相交与点P,求证角BPM=45度.（用平行四边形做,别用相似三角形,辅助线已作,过B做BC的垂线BD,垂足为b使BD=MC,连接DM,AD

答

过M作AC的平行线,过A作BC的平行线,两线交于Q.
连结NQ.QM与BN交于S.
容易知道∠AQN=∠BQN=45,∴∠BQN=90º=∠MQA,
又AQ:QN=QM:QB,
∴△QAM∽△QNB,
∴∠AMQ=NBQ,
又∠PSM=∠QSB,
∴根据三角形内角和等于180,得
∠MPS=∠BQS,
∵∠BQS=45,
∴∠BPM=∠MPS=∠BQS=45°,
即∠BPM=45°.
你的好评是我前进的动力.
我在沙漠中喝着可口可乐,唱着卡拉ok,骑着狮子赶着蚂蚁,手中拿着键盘为你答题!说了不要用相似做啊，我这种辅助线的做法有吗，我们老师讲了这种方法，没听懂，求助啊！

解法一：

如图设出长度

则tanAMC=y/x

tanBNC=(x+y)/(y-x)

所以tan(AMC+BNC)

=[y/x+(x+y)/(y-x)]/[1-y/x*(x+y)/(y-x)]

=-1

所以角AMC+角BNC=135度

所以角MPN=360-90-135=135

即有角BPM=45度

解法二

过M作AC的平行线，过A作BC的平行线，两线交于Q。
连结NQ。QM与BN交于S。
容易知道∠AQN=∠BQN=45,∴∠BQN=90º=∠MQA,
又AQ:QN=QM:QB,
∴△QAM∽△QNB,
∴∠AMQ=NBQ,
又∠PSM=∠QSB,
∴根据三角形内角和等于180，得
∠MPS=∠BQS，
∵∠BQS=45,
∴∠BPM=∠MPS=∠BQS=45°，
即∠BPM=45°。

解法三：

过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC

∴ME⊥BC

在△BEM和△AMC中，

ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC

∴△BEM≌△AMC

∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900

∴∠2＋∠4＝900，且BE＝NE

∴△BEN是等腰直角三角形

∴∠BNE＝450

∵AM∥NE

∴∠BPM＝∠BNE ＝450

晕死，题目而已，只要能做出来就是好办法请好评～我擦，我们老师要检查的啊，非要用那种方法做，急求啊。。！！第三种方法就是你要的方法请好评