曲线y=x3+3x2+6x+4的所有切线中,斜率最小的切线的方程是______.

问题描述:

曲线y=x3+3x2+6x+4的所有切线中,斜率最小的切线的方程是______.

由题意得,y′=3x2+6x+6=3(x2+2x)+6
=3(x+1)2+3,
∴当x=-1时,y′=3x2+6x+6取最小值是3,
把x=1代入y=x3+3x2+6x+4得,y=14,即切点坐标是(1,14),
∴切线方程是:y-14=3(x-1),
即3x-y+3=0,
故答案为:3x-y+3=0.
答案解析:根据题意求出导数,对导数配方后求出最小值,以及对应的切点坐标,代入直线的点斜式后再化为一般式.
考试点:利用导数研究曲线上某点切线方程.


知识点:本题考查了导数的几何意义,即在某点处的切线的斜率是该点处的导数值,以及直线方程的一般式和点斜式的应用.