已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x,设有且仅有一个实数Xo,使得f(Xo)=Xo,求函数的解析
问题描述：
已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x,设有且仅有一个实数Xo,使得f(Xo)=Xo,求函数的解析
定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)-x^2+x]=f(x)-x^2+x
设t=f(x)-x^2+x,则f(t)=t
因为有且仅有一个实数Xo,使得f(Xo)=Xo,
所以t=g(x)=f(x)-x^2+x的值域为单元素集,即g(x)的表达式与x无关,可设g(x)=b(b为任意实数)
所以f(x)=x^2-x+b
f(Xo)=Xo^2-Xo+b=X0有且仅有一解,所以Xo^2-2Xo+b=0
△=(-2)^2-4b=0,b=1
所以f(x)=x^2-x+1
问：为什么“因为有且仅有一个实数Xo,使得f(Xo)=Xo,所以t=g(x)=f(x)-x^2+x的值域为单元素集”?只要它取无数个值,值域不就有无数个么?
答
因为x0是一个定值
所以g(x）为一个定值,即为单元素集
x0不能取无数个值,否则就说对于任何x,都有f(x)=x