已知向量AB=a+b,向量AD=a-b,其中|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为π/3,求平行四边形ABCD的面积
问题描述：
已知向量AB=a+b,向量AD=a-b,其中|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为π/3,求平行四边形ABCD的面积
答
画个图，在平面上用线段画出来，这题三角形是直角三角形，所以面积为2
答
let 向量AB,向量AD的夹角 = x
|AB|^2 = (a+b).(a+b) =|a|^2+|b|^2+2|a||b|cos(π/3) = 4+1+4=9
|AB|=3
|AD|^2=|a|^2+|b|^2-2|a||b|cos(π/3)= 4+1-4=1
|AD|=1
AB.AD = (a+b)(a-b)
|AB||AD|cosx = |a|^2-|b|^2
4cosx = 3
cosx = 3/4
sinx = √7/4
平行四边形ABCD的面积
=|AB||AD|sinx
= √7
答
平行四边形ABCD的面积：S=|AB×AD|
AB×AD=(a+b)×(a-b)=a×a-a×b+b×a-b×b
=-2a×b
而：|a×b|=|a|*|b|*sin=2*1*sin(π/3)
=√3
故：|AB×AD|=2|a×b|=2√3
即平行四边形ABCD的面积：2√3