非对称矩阵相似对角化过程中的相似变换P为什么一定是该矩阵不同特征值对应的特征向量所组成的矩阵?如已知非对称三阶矩阵A可以相似对角化,即存在可逆矩阵P使得P^(-1)AP=diag(a,b,c).为什么这个相似对角化过程中的相似变换P就是3个特征值（可能有重根）对应特征向量按列向量组合在一起呢?

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:29:15

问题描述：

非对称矩阵相似对角化过程中的相似变换P为什么一定是该矩阵不同特征值对应的特征向量所组成的矩阵?
如已知非对称三阶矩阵A可以相似对角化,即存在可逆矩阵P使得P^(-1)AP=diag(a,b,c).为什么这个相似对角化过程中的相似变换P就是3个特征值（可能有重根）对应特征向量按列向量组合在一起呢?

答

令P=(p1,p2,p3)
则 AP = (Ap1,Ap2,Ap3) = Pdiag(a,b,c) = (ap1,bp2,cp3)
所以 Ap1=ap1
Ap2=bp2
Ap3=cp3
这样就可知特征值,特征向量,可逆矩阵P,对角矩阵diag(a,b,c) 之间的关系了