设F1,F2分别是X2+Y2/b2=1的左右焦点,过F1的直线l与椭圆交与A,B,且｜AF2｜,｜AB｜,｜BF2｜成等差数列,
问题描述：
设F1,F2分别是X2+Y2/b2=1的左右焦点,过F1的直线l与椭圆交与A,B,且｜AF2｜,｜AB｜,｜BF2｜成等差数列,
求（1）｜AB｜（2）若直线l斜率为1求b
答
a^2=1；
b^2+c^2=a^2=1,c^2=1-b^2；
AF1+AF2=2,BF1+BF2=2,AF2+BF2=2AB ,
AF1+AF2+ BF1+BF2=4,
4=AF1+BF1+AF2+BF2=AB+2AB=3AB,
AB=4/3；
设 l：y=x+c,
代入椭圆方程：x^2+(x-c)^2/b^2=1,
(b^2+1)x^2+2cx+c^2-b^2=0
⊿=4c^2-4(b^2+1)(c^2-b^2)
=4c^2+4(b^2+1)(b^2-c^2)
=4b^4-b^2c^2+4b^2=4b^2(b^2-c^2+1)
=4b^2(b^2+b^2)=8b^4
4/3=AB=(√2)(√⊿)/(b^2+1)=4b^2/(b^2+1）
3b^2=b^2+1 2b^2=1 b^2=1/2
b=√2/2.
这里利用了二个结果：
一元二次方程ax^2+bx+c=0 的两实根x1,x2
|x1-x2|=√⊿/|a|
直线y=kx+b 上两点(x1,y1),(x2,y2)的距离d
d=|x1-x2|√⊿
前者利用韦达公式或求根公式可证,后者利用两点间的距离公司直接证明.在填空题选择题中可以直接利用.