设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B为该抛物线上两点,若FA+2FB=0,则|FA|+2|FB|等于 _ .

问题描述:

设F为抛物线y2=4x的焦点,A、B为该抛物线上两点,若

FA
+2
FB
0
,则|
FA
|+2|
FB
|
等于 ___ .

过A,B两点分别作准线的垂线,再过B作AC的垂线,垂足为E,
设BF=m,则BD=m,

FA
+2
FB
=
0

∴AC=AF=2m,
如图,在直角三角形ABE中,
AE=AC-BD=2m-m=m,
AB=3m,∴cos∠BAE=
AE
AB
=
1
3

∴直线AB的斜率为:k=tan∠BAE=2
2

∴直线AB的方程为:y=2
2
(x-1)
将其代入抛物线的方程化简得:2x2-5x+2=0
∴x1=2,x2=
1
2

∴A(2,2
2
).B(
1
2
2
),又F(1,0)
|
FA
|+2|
FB
|
=2
1+8
=6.
故答案为:6.