如图(1)和(2),MN是⊙O的直径,弦AB、CD相交于MN上的一点P,∠APM=∠CPM. (1)由以上条件,你认为AB和CD大小关系是什么,请说明理由; (2)若交点P在⊙O的外部,上述结论是否成立?

问题描述:

如图(1)和(2),MN是⊙O的直径,弦AB、CD相交于MN上的一点P,∠APM=∠CPM.

(1)由以上条件,你认为AB和CD大小关系是什么,请说明理由;
(2)若交点P在⊙O的外部,上述结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由.

(1)AB=CD,
理由是:过O作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,连接OB、OD,
∵∠APM=∠CPM,∠APM=∠BPN,∠CPM=∠DPN,
∴∠BPN=∠DPN,
∵OE⊥AB,OF⊥CD,
∴OE=OF,
在Rt△BEO和Rt△DOF中,OF=OE,OD=OB,由勾股定理得:BE=DF,
∵OF⊥CD,OE⊥AB,
OF、OE过O,
∴由垂径定理得:CD=2DF,AB=2BE,
∴AB=CD.
(2)AB=CD成立,
证明:过O作OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,连接OB、OD,
∵∠APM=∠CPM,
∴OE=OF,
在Rt△BEO和Rt△DOF中,OF=OE,OD=OB,由勾股定理得:BE=DF,
∵OF⊥CD,OE⊥AB,
OF、OE过O,
∴由垂径定理得:CD=2DF,AB=2BE,
∴AB=CD.