伴随矩阵：设A是（n>=2）阶方阵,A是A的伴随矩阵,证明：r(A)=n的充要条件是r(A)=n-1.这题是要结合矩阵的秩和伴随矩阵的性质吗?能否给出必要性或者充分性的证明,只要一方就可以了.

分类: 作业答案 • 2021-12-18 16:11:47

问题描述：

伴随矩阵：设A是（n>=2）阶方阵,A*是A的伴随矩阵,证明：r(A*)=n的充要条件是r(A)=n-1.
这题是要结合矩阵的秩和伴随矩阵的性质吗?能否给出必要性或者充分性的证明,只要一方就可以了.

答

你的结论就是错的如果r(A*)=n 那么r(A)=n 这才是对的
我就证明一个比较难想的即若r(A)=n-1那么r(A*)=1
由于r(A)=n-1 所以A中有一行为0 |A|=0 有n-1阶非零子式子所以r(A*)>=1
由于AA*=|A|E=0
r(A*)+r(A)

伴随矩阵：设A是（n>=2）阶方阵,A*是A的伴随矩阵,证明：r(A*)=n的充要条件是r(A)=n-1.这题是要结合矩阵的秩和伴随矩阵的性质吗?能否给出必要性或者充分性的证明,只要一方就可以了.