设A为奇数阶方阵,且|A|=1,A的转置矩阵=A的逆矩阵,求证I-A不可逆?
问题描述：
设A为奇数阶方阵,且|A|=1,A的转置矩阵=A的逆矩阵,求证I-A不可逆?
答
证明:由 A' = A^-1,|A|=1,A的阶n为奇数,得
|I-A| = |AA^-1-A|
= |AA'-A|
= |A||A'-I|
= |(A'-I)'|
= |A-I|
= |(-1)(I-A)|
= (-1)^n |I-A|
= -|I-A|
所以 |I-A| = 0
所以 I-A 不可逆.