若函数f(x)=|x|x+2-kx3有三个不同的零点,则实数k的取值范围为 ___ .

问题描述:

若函数f(x)=

|x|
x+2
-kx3有三个不同的零点,则实数k的取值范围为 ___ .

作业帮 当k=0时,不合题意.x=0显然为函数的一个零点.
x≠0时,转化为方程

1
k
=
x3(x+2)
|x|
有个两相异的非零实根,
亦即函数f1(x)=
1
k
f2(x)=
x3(x+2)
|x|
图象有两不同的交点.
f2(x)=
x3(x+2)
|x|
=
x3+2x2     x>0
-(x3+2x2),x<0.

在直角坐标系中画出其图象,结合图象不难得出结论.
故答案为:{k|k<-
27
32
或k>0}.
答案解析:先可判断k一定不是0,进而可得到函数的一定零点;再由等x≠0时,将函数f(x)有零点转化为
1
k
=
x3(x+2)
|x|
有个两相异的非零实根的问题,即为函数f1(x)=
1
k
f2(x)=
x3(x+2)
|x|
图象有两不同的交点,然后画出函数f2(x)的图象求出最小值即可确定k的范围.
考试点:函数的零点与方程根的关系.
知识点:本题主要考查函数零点与方程的根的关系,考查以形助数的思想.要充分理解并要灵活运用函数的零点与方程的根、函数与x轴的交点的横坐标一致性.