三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.用图来证明

给出一个△ABC.中线为CD,BF,AE.（如右图） 连接DE并倍长到P.连接BP,FP,EF. 在△DEC和△PEB中 ∵DE=EP,∠BEP=∠DEC,BE=EC. ∴△DEC≌△PEB（SAS）. ∴CD=BP. S△DEC=S△PEB. 又∵DE平行且等于1/2AC,DE=EP. ∴EP平行且等于1/2AC. 即EP平行且等于AF. ∴四边形AEPF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形） ∴AE=FP. S△EFP=S△AEF. 这样△ABC的三条中线CD,BF,EF就构成了△BFP. ∵BF为中线，平分△ABC面积. ∴S△BAF=S△BFC. 又∵EF为△BFC中线，平分△BFC面积. ∴S△BEF=S△EFC=1/4 S△ABC. 又∵CD为△ABC中线，平分△ABC面积. ∴S△ADC=S△BDC. 又∵DE平分△BDC面积. ∴S△BDE=S△DEC=1/4 S△ABC. ∴S△BEP=S△DEC=1/4 S△ABC. ∵AE为△ABC中线，平分△ABC面积. ∴S△BAE=S△AEC. 又∵EF平分△AEC. ∴S△AEF=S△EFC. ∴S△AFE=S△EFP=1/4 S△ABC ∵S△BFP=S△BEF+S△BEP+S△EFP =1/4 S△ABC+1/4 S△ABC+1/4 S△ABC =3/4 S△ABC

如图：（图比较乱,LZ要仔细看）

连接DE并倍长到P.连接BP,FP,EF.

在△DEC和△PEB中

∵DE=EP,∠BEP=∠DEC,BE=EC.

∴△DEC≌△PEB（SAS）.

∴CD=BP. S△DEC=S△PEB.

又∵DE平行且等于1/2AC,DE=EP.

∴EP平行且等于1/2AC.

即EP平行且等于AF.

∴四边形AEPF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形）

∴AE=FP. S△EFP=S△AEF.

这样△ABC的三条中线CD,BF,AE就构成了△BFP.

∵BF为中线,平分△ABC面积.

∴S△BAF=S△BFC.

又∵EF为△BFC中线,平分△BFC面积.

∴S△BEF=S△EFC=1/4 S△ABC.

又∵CD为△ABC中线,平分△ABC面积.

∴S△ADC=S△BDC.

又∵DE平分△BDC面积.

∴S△BDE=S△DEC=1/4 S△ABC.

∴S△BEP=S△DEC=1/4 S△ABC.

∵AE为△ABC中线,平分△ABC面积.

∴S△BAE=S△AEC.

又∵EF平分△AEC.

∴S△AEF=S△EFC.

∴S△AFE=S△EFP=1/4 S△ABC

∵S△BFP=S△BEF+S△BEP+S△EFP

=1/4S△ABC+1/4 S△ABC+1/4 S△ABC

=3/4S△ABC