已知函数f（x）=ln（ex+1）-ax（a＞0）． （1）若函数y=f（x）的导函数是奇函数，求y=f′（x）的值域； （2）求函数y=f（x）的单调区间．
问题描述：
已知函数f（x）=ln（ex+1）-ax（a＞0）．
（1）若函数y=f（x）的导函数是奇函数，求y=f′（x）的值域；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．
答
（1）由已知得f′(x)＝
−a．ex
ex+1
∵函数y=f（x）的导函数是奇函数．
∴f′（-x）=-f′（x），解得a＝
．故f′(x)＝1 2
−
ex+1−1
ex+1
，f′(x)＝1 2
−1 2
，所以f′(x)∈(−1
ex+1
，1 2
)1 2
（2）由（1）f′(x)＝
−a＝1−ex
ex+1
−a．1
ex+1
当a≥1时，f′（x）＜0恒成立，
∴当a≥1时，函数y=f（x）在R上单调递减；
当0＜a＜1时，由f′（x）＞0得（1-a）（ex+1）＞1，即ex＞−1+
，x＞ln1 1−a
，a 1−a
∴当0＜a＜1时，y＝f(x)在(ln
，+∞)内单调递增，a 1−a
在(−∞，ln
)内单调递减．a 1−a
故当a≥1时，函数y=f（x）在R上单调递减；
当0＜a＜1时，y＝f(x)在(ln
，+∞)内单调递增；在(−∞，lna 1−a
)内单调递减．a 1−a