若直线l：x+my+c=0与抛物线y2=2x交于A、B两点，O点是坐标原点．（1）当m=-1，c=-2时，求证：OA⊥OB；（2）若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标．（3）当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论．
问题描述：
若直线l：x+my+c=0与抛物线y2=2x交于A、B两点，O点是坐标原点．
（1）当m=-1，c=-2时，求证：OA⊥OB；
（2）若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标．
（3）当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论．
答
知识点：本题主要考查了直线与曲线方程的位置关系及方程思想的转化，方程的根与系数的关系的应用，抛物线的定义的应用．综合的知识的较多，还有具备一定的计算及推理的能力．
设A（x1，y1）、B（x2，y2），由x+my+c＝0y2＝2x得y2+2my+2c=0可知y1+y2=-2m y1y2=2c，x1x2＝12y21•12y22=14×4c2＝c2∴x1+x2=2m2-2c，x1x2＝12y21•12y22=14×4c2＝c2（1）当m=-1，c=-2时，x1x2+y1y2=0...
答案解析：设A（x1，y1）、B（x2，y2），由
得y2+2my+2c=0，y1+y2=-2m y1y2=2c，x1+x2=2m2-2c x1x2=c2，
x+my+c＝0
y2＝2x
（1）当m=-1，c=-2时，要证OA⊥OB．只要证x1x2+y1y2=0 即可
（2）当OA⊥OB时，x1x2+y1y2=0 可求c，此时可求直线l：x+my-2=0及过的定点
（3）要判断△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系，只要判断圆心到准线的距离与半径的大小即可
考试点：直线与圆锥曲线的综合问题．
知识点：本题主要考查了直线与曲线方程的位置关系及方程思想的转化，方程的根与系数的关系的应用，抛物线的定义的应用．综合的知识的较多，还有具备一定的计算及推理的能力．