若直线l:x+my+c=0与抛物线y2=2x交于A、B两点,O点是坐标原点.(1)当m=-1,c=-2时,求证:OA⊥OB;(2)若OA⊥OB,求证:直线l恒过定点;并求出这个定点坐标.(3)当OA⊥OB时,试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何?证明你的结论.

问题描述:

若直线l:x+my+c=0与抛物线y2=2x交于A、B两点,O点是坐标原点.
(1)当m=-1,c=-2时,求证:OA⊥OB;
(2)若OA⊥OB,求证:直线l恒过定点;并求出这个定点坐标.
(3)当OA⊥OB时,试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何?证明你的结论.

设A(x1,y1)、B(x2,y2),由x+my+c=0y2=2x得y2+2my+2c=0可知y1+y2=-2m  y1y2=2c,x1x2=12y21•12y22=14×4c2=c2∴x1+x2=2m2-2c,x1x2=12y21•12y22=14×4c2=c2(1)当m=-1,c=-2时,x1x2+y1y2=0...
答案解析:设A(x1,y1)、B(x2,y2),由

x+my+c=0
y2=2x
得y2+2my+2c=0,y1+y2=-2m  y1y2=2c,x1+x2=2m2-2c  x1x2=c2
(1)当m=-1,c=-2时,要证OA⊥OB.只要证x1x2+y1y2=0 即可
(2)当OA⊥OB时,x1x2+y1y2=0 可求c,此时可求直线l:x+my-2=0及过的定点
(3)要判断△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系,只要判断圆心到准线的距离与半径的大小即可
考试点:直线与圆锥曲线的综合问题.

知识点:本题主要考查了直线与曲线方程的位置关系及方程思想的转化,方程的根与系数的关系的应用,抛物线的定义的应用.综合的知识的较多,还有具备一定的计算及推理的能力.