设抛物线的顶点为O，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B，C，经过抛物线上一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q，求证：|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项．
问题描述：
设抛物线的顶点为O，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点B，C，经过抛物线上一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q，求证：|PQ|是|BC|和|OQ|的比例中项．
答
证明：设抛物线为y2=2px（p＞0）．则焦点F（
，0），p 2
依题意，B，C的坐标可由
得：y2=p2，y=p或-p，
x＝
p 2
y2＝2px(p＞0)
∴B（
，p），C（p 2
，-p），|BC|=p-（-p）=2p；p 2
设P（2pt2，2pt），则Q（2pt2，0），
∴|PQ|=|2pt|，|OQ|=2pt2
|BC|×|OQ|=2p×2pt2=4p2t2=（2pt）2=|PQ|2，
∴|PQ|是|BC|和|OQ|的等比中项．
答案解析：设设抛物线为y2=2px（p＞0），可求得|BC|=2p，设P（2pt2，2pt），则Q（2pt2，0），可求得|PQ|与|OQ|，从而可证得|BC|×|OQ|=|PQ|2．
考试点：抛物线的简单性质；等比关系的确定．
知识点：本题考查抛物线的简单性质，考查等比关系的确定，求得|BC|、|PQ|、|OQ|的值是关键，考查分析与推理证明的能力，属于中档题．