如图1,在平面直角坐标系中,直线AB交x轴于A点,交y轴于B点,点C是直线AB上一动点.(1)若∠OAB比∠OBA大20°,OC⊥AB,求∠AOC的度数;(2)如图2,AM平分∠BAO,BM平分∠OBN,当A点在x轴负半轴上运动时,∠AMB的值是否发生变化?若不变求出∠AMB的度数;若变化请说明理由;(3)如图3,若∠OAB=45°,且∠OPA=∠BPD,∠BDP=∠ODF,则下列两个结论: ①DF∥AB,②DF⊥OP,其中只有一个结论是正确的,请你指出正确的结论,并说明理由.

问题描述:

如图1,在平面直角坐标系中,直线AB交x轴于A点,交y轴于B点,点C是直线AB上一动点.

(1)若∠OAB比∠OBA大20°,OC⊥AB,求∠AOC的度数;
(2)如图2,AM平分∠BAO,BM平分∠OBN,当A点在x轴负半轴上运动时,∠AMB的值是否发生变化?若不变求出∠AMB的度数;若变化请说明理由;
(3)如图3,若∠OAB=45°,且∠OPA=∠BPD,∠BDP=∠ODF,则下列两个结论:
 ①DF∥AB,②DF⊥OP,其中只有一个结论是正确的,请你指出正确的结论,并说明理由.

(1)∵∠AOB=90°,∠OAB比∠OBA大20°,

∠OAB−∠OBA=20°
∠OAB+∠OBA=90°

解得:∠OBA=35°,
∵OC⊥AB,
∴∠OCA=∠AOB=90°,
∴∠AOC=∠OBA=35°;
(2)∠AMB的值不发生变化;
∵∠BAM=
1
2
∠BAO,∠ABM=∠ABO+∠OBM=∠ABO+
1
2
(∠AOB+∠BAO)=∠ABO+
1
2
(90°+∠BAO),
∴∠AMB=180°-(∠BAM+∠ABM)=180°-[
1
2
∠BAO+∠ABO+
1
2
(90°+∠BAO)]=45°;
(3)②DF⊥OP正确;
∵∠OAB=45°,∠AOB=90°,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
∵∠OPA=∠BPD,
∴∠PDB=∠PDB,
∵∠BDP=∠ODF,
∴∠AOP=∠ODF,
∵∠AOP+∠POD=90°,
∴∠ODF+∠POD=90°,
∴∠OED=90°,
∴DF⊥OP.
答案解析:(1)根据已知得出
∠OAB−∠OBA=20°
∠OAB+∠OBA=90°
,解得:∠OBA=35°,然后根据同角的余角相等即可求得;
(2)由于∠BAM=
1
2
∠BAO,∠ABM=∠ABO+
1
2
(90°+∠BAO),根据三角形的内角和定理即可证得∠AMB=45°;
(3)根据三角形的内角和定理求得∠PDB=∠PDB,进而求得∠AOP=∠ODF,因为∠AOP+∠POD=90°,求得∠ODF+∠POD=90°,即可求得.
考试点:三角形内角和定理;坐标与图形性质;三角形的外角性质.
知识点:本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质、互为余角的性质、坐标和图形的性质等,熟练掌握性质定理是解题的关键.