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已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2+y2=4相交于A、B两点，|AB|=23，求抛物线方程．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 17:37:15
问题描述：

已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2+y2=4相交于A、B两点，|AB|=2

 3
，求抛物线方程．

答

由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．
故可设抛物线方程为：y2=ax（a≠0）．                                （2分）
设抛物线与圆x2+y2=4的交点A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵抛物线y2=ax（a≠0）与圆x2+y2=4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，
∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2

 3
，（6分）
∴|y1|=|y2|=
 3
，代入圆x2+y2=4得x2+3=4，
∴x=±1，（8分）
∴A（±1，
 3
）或A（±1，-
 3
），代入抛物线方程，得：（
 3
）2=±a，∴a=±3．（10分）
∴所求抛物线方程是：y2=3x或y2=-3x．（12分）
注：少一种情况扣（4分）．也可分类讨论．
答案解析：设抛物线方程y2=ax（a≠0），利用抛物线与圆x2+y2=4都关于x轴对称，求出A，B的坐标，利用|AB|=2
 3
，即可求抛物线方程．
考试点：圆与圆锥曲线的综合．
知识点：本题考查抛物线与圆的位置关系，考查图形的对称性，考查学生的计算能力，属于中档题．

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