已知,如图,▱ABCD中,BE,CF分别是∠ABC和∠BCD的一平分线,BE,CF相交于点O.(1)求证:BE⊥CF;(2)试判断AF与DE有何数量关系,并说明理由;(3)当△BOC为等腰直角三角形时,四边形ABCD是何特殊四边形?(直接写出答案)

问题描述:

已知,如图,▱ABCD中,BE,CF分别是∠ABC和∠BCD的一平分线,BE,CF相交于点O.

(1)求证:BE⊥CF;
(2)试判断AF与DE有何数量关系,并说明理由;
(3)当△BOC为等腰直角三角形时,四边形ABCD是何特殊四边形?
(直接写出答案)

(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°(1分)
又∵BE,CF分别是∠ABC,∠BCD的平分线
∴∠EBC+∠FCB=90°
∴∠BOC=90°
故BE⊥CF(3分)
(2)AF=DE
理由如下:
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠CBE
又∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠CBE
∴∠AEB=∠ABE
∴AB=AE
同理CD=DF(5分)
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD
∴AE=DF
∴AF=DE(6分)
(3)当△BOC为等腰直角三角形时四边形ABCD是矩形.(8分)
答案解析:(1)平行四边形中邻角互补,且BE、CF分别为一组邻角的平分线,所以BE和CF垂直.
(2)在三角形AEB中,因为BE为平分线,AD和BC平行,所以可得∠ABE=∠AEB,即AB=AE,同理,DF=DC,所以AF=DE.
(3)当△BOC为等腰直角三角形时,即∠BOC=90°,由题可知,∠ABC=∠BCD=90°,有一个角是直角的平行四边形为矩形.
考试点:矩形的判定;平行四边形的判定与性质.


知识点:此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的判定,难易程度适中.