当x>0时,求证sinx>x-x^3/6.我是文科生.用导数解,但是别太复杂.求导的次数别太多额.
问题描述：
当x>0时,求证sinx>x-x^3/6.
我是文科生.用导数解,但是别太复杂.求导的次数别太多额.
答
x^3/6-x-sinx>0
设:
f(x)=x^3/6-x+sinx 只要证明：f(x)的最小值>0即可。
f'(x)=x^2/2-1+cosx
f''(x)=x-sinx
f'''(x)=1-cosx>0
f''(x)是增的，最小值，f''(x)min=f''(0)=0-sin0=0
所以：f''(x)>=0
f'(x)是增的。所以：f'(x)最小值f'(0)=0-1+cos0=0
所以f(x)是增的。
所以，f(x)>=0 当x=0时，取等号。
由于x>0
故：f(x)>0
即：
x^3/6-x-sinx>0
答
证明：
（1）先证明 x>0时,x>sinx（需要用到此结论）
构造函数F(x)=x-sinx
则 F(0)=0
F'(x)=1-cosx≥0恒成立
∴ F(x)在x>0时是增函数
∴ F(x)>F(0)=0
即 x>sinx
（2）
构造函数
f(x)=sinx-x+x³/6
则f(0)=0
f'(x)=cosx-1+x²/2=x²/2-2sin²(x/2)=2[(x/2)²-sin²(x/2)]=2[x/2-sin(x/2)]*[x/2+sin(x/2)]
由（1）则,f'(x)>0恒成立
∴ f(x)在x>0时是增函数
∴ f(x)>f(0)=0
即 sinx>x-x³/6