已知X1,X2,X3,……Xn为实数,A1,A2,A3,……An以及B1,B2,B3,……Bn为正整数.令A=( A1 X1+ A2 X2+ A3 X3+……AnXn)/( A1 +A2+ A3+……An)B=( B1 X1+ B2 X2+ B3 X3+……BnXn)/(B1+B2+B3+……Bn)试证：在X1,X2,X3,……Xn中必定存在两个数Xi,Xj使得下列不等式成立｜A-B｜
问题描述：
已知X1,X2,X3,……Xn为实数,A1,A2,A3,……An以及B1,B2,B3,……Bn为正整数.令
A=( A1 X1+ A2 X2+ A3 X3+……AnXn)/( A1 +A2+ A3+……An)
B=( B1 X1+ B2 X2+ B3 X3+……BnXn)/(B1+B2+B3+……Bn)
试证：在X1,X2,X3,……Xn中必定存在两个数Xi,Xj使得下列不等式成立
｜A-B｜
答
不妨设X1≤X2≤...≤Xn.否则可以对诸Xi重新编号，诸Ai诸Bi跟着重新编号.
若A≤B,则|A-B|≤|A-Xn|≤|X1-Xn|,实际上，
B=(B1X1+B2X2+...+BnXn)/(B1+B2+...+Bn)
≤(B1Xn+B2Xn+...+BnXn)/(B1+B2+...+Bn)
=Xn,
A=(A1X1+A2X2+...+AnXn)/(A1+A2+...+An)
≥(A1X1+A2X1+...+AnX1)/(A1+A2+...+An)
=X1,
X1≤A≤B≤Xn,|A-B|≤|A-Xn|≤|X1-Xn|.
若A>B,类似地，由A≤Xn,X1≤B,也得到同样结论。
答
｜A-B｜