阅读下面的材料:在平面几何中,我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线,给出它们平行的定义:设一次函数y=k1x+b1(k1≠0)的图象为直线l1,一次函数y=k2x+b2(k2≠0)的图象为直线l2,若k1=k2,且b1≠b2,我们就称直线l1与直线l2互相平行.解答下面的问题:(1)求过点P(1,4)且与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数表达式,并画出直线l的图象;(2)设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B,如果直线m:y=kx+t(t>0)与直线l平行且交x轴于点C,求出△ABC的面积S关于t的函数表达式.

问题描述:

阅读下面的材料:在平面几何中,我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线,给出它们平行的定义:设一次函数y=k1x+b1(k1≠0)的图象为直线l1,一次函数y=k2x+b2(k2≠0)的图象为直线l2,若k1=k2,且b1≠b2我们就称直线l1与直线l2互相平行.解答下面的问题:
(1)求过点P(1,4)且与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数表达式,并画出直线l的图象;
(2)设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B,如果直线m:y=kx+t(t>0)与直线l平行且交x轴于点C,求出△ABC的面积S关于t的函数表达式.

(1)设直线l的函数表达式为y=kx+b,
∵直线l与直线y=-2x-1平行,∴k=-2,
∵直线l过点(1,4),
∴-2+b=4,
∴b=6.
∴直线l的函数表达式为y=-2x+6.
直线l的图象如图.
(2)∵直线l分别与y轴、x轴交于点A、B,
∴点A、B的坐标分别为(0,6)、(3,0).
∵l∥m,
∴直线m为y=-2x+t.令y=0,解得x=

t
2

∴C点的坐标为(
t
2
,0).
∵t>0,∴
t
2
>0.
∴C点在x轴的正半轴上.
当C点在B点的左侧时,S=
1
2
×(3-
t
2
)×6=9-
3t
2

当C点在B点的右侧时,S=
1
2
×(
t
2
-3)×6=
3t
2
-9.
∴△ABC的面积S关于t的函数表达式为S=
9−
3t
2
(0<t<6)
3t
2
−9(t>6)

答案解析:(1)直线l与已知直线y=-2x-1平行,因而直线的一次项系数是-2,根据待定系数法就可以求出函数解析式.
(2)点A、B的坐标可以求出,点C的位置应分在B点的左侧和右侧两种情况进行讨论.根据三角形的面积就可以求出C点的坐标.
考试点:一次函数综合题.
知识点:本题主要考查了待定系数法求函数的解析式,以及函数平行的条件,是需要熟记的内容.