设m,n为给定的正整数,且mn|m^2+n^2+m,证明：m是一个完全平方数
问题描述：
设m,n为给定的正整数,且mn|m^2+n^2+m,证明：m是一个完全平方数
答
设(m,n)=d,m=ad,n=bd,(a,b)=1.
则abd^2|(ad)^2+(bd)^2+ad.
abd|a^2*d+b^2*d+a.
则a|b^2*d.
d|a.
因为(a,b)=1.
所以a|d,d|a.
所以a=d.
所以m=ad=a^2是完全平方数.