为什么a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

问题描述:

为什么a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

原式=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2+c^3-3abc
=(a+b)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)

a^3+b^3+c^3-3abc =(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3)-(3abc+3a^2b+3ab^2) =[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc) =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)