如图,A,B,C,H四个小朋友在草坪上游戏,根据游戏规则,A,B,C三人围成一个三角形,B,H,C三人共线,H在B,C两人之间.B,C两人相距20m,A,H两人相距hm,AH与BC垂直.(1)当h=10时,求A看B,C两人视角的最大值;(2)当A在某位置时,此时B看A,C视角是C看A,B视角的2倍,求h的取值范围.

问题描述:

如图,A,B,C,H四个小朋友在草坪上游戏,根据游戏规则,A,B,C三人围成一个三角形,B,H,C三人共线,H在B,C两人之间.B,C两人相距20m,A,H两人相距hm,AH与BC垂直.
作业帮
(1)当h=10时,求A看B,C两人视角的最大值;
(2)当A在某位置时,此时B看A,C视角是C看A,B视角的2倍,求h的取值范围.

(1)设CH=x,∴BH=20-x,x∈(0,20),tan∠CAH=x10,1°、当1-20-x10•x10=0,即x=10时,此时∠BAH=∠CAH=45°,∴∠BAC=90°;2°、当1-20-x10•x10≠0,即x≠10时,tan∠BAC=tan(∠BAH+∠CAH)=20-x10+x101-20...
答案解析:(1)设CH=x,由BC-CH表示出BH,利用锐角三角函数定义表示出tan∠CAH,分两种情况考虑:1°、当1-

20−x
10
x
10
=0,即x=10时,此时∠BAH=∠CAH=45°,∠BAC=90°;2°、当1-
20−x
10
x
10
≠0,即x≠10时,tan∠BAC=tan(∠BAH+∠CAH),利用两角和与差的正切函数公式化简,将各自的值代入得到其值大于0,由∠BAC为三角形内角,得到∠BAC小于90度,综上,得到A看B,C两人视角的最大值;
(2)利用锐角三角函数定义表示出tan∠ABH与tan∠ACH,得到∠ABH=2∠ACH,利用二倍角的正切函数公式列出关系式,整理后表示出h2,根据x的范围求出h2的范围,即可求出h的范围.
考试点:两角和与差的正切函数.
知识点:此题考查了两角和与差的正切函数公式,二倍角的正切函数公式,锐角三角函数定义,利用了分类讨论的思想,熟练掌握公式是解本题的关键.