求拉氏变换的终值定理,越详细越好,最好有证明

若 是因果序列，且已知其z变换为

则

证明：因为
(线性性)
(时移性)

取极限可得


＝
= [证毕]
由证明过程可以看出，终值定理只有在 存在时才可以应用,也就是说 的极点必须在单位圆内(如果位于单位圆上，则只能位于 点，且是一阶极点)。
下面我们举例来说明终值定理的应用条件。
例：设序列为 ，可求出其Z变换为 ，取极限可得 。但显然序列的极限并不存在，即 不存在，所以

导致上面这种“终值定理”不成立的原因是X(z)在单位圆外有极点。
终值定理的应用类似于拉氏变换的终值定理，如果已知序列x(n)的z变换X(z)，在不求逆变换，且满足终值定理地应用条件时，就可以直接利用终值定理很方便地求出序列的终值

拉普拉斯变换（英文：Laplace Transform),是工程数学中常用的一种积分变换.
如果定义：
f(t),是一个关于t,的函数,使得当t0,；
f(t)
= mathcal ^ left
=frac int_ ^ F(s),e^ ,ds
c,是收敛区间的横坐标值,是一个实常数且大于所有F(s),的个别点的实部值.
为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换.对一个实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果,往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多.拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效,它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理,从而使计算简化.在经典控制理论中,对控制系统的分析和综合,都是建立在拉普拉斯变换的基础上的.引入拉普拉斯变换的一个主要优点,是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性.这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法）,以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性.
用 f(t)表示实变量t的一个函数,F(s)表示它的拉普拉斯变换,它是复变量s＝σ＋j&owega;的一个函数,其中σ和&owega; 均为实变数,j2＝-1.F(s)和f(t)间的关系由下面定义的积分所确定：
如果对于实部σ ＞σc的所有s值上述积分均存在,而对σ ≤σc时积分不存在,便称 σc为f(t)的收敛系数.对给定的实变量函数 f(t),只有当σc为有限值时,其拉普拉斯变换F(s)才存在.习惯上,常称F(s)为f(t)的象函数,记为F(s)＝L[f(t)];称f(t)为F(s)的原函数,记为ft＝L-1[F(s)].
函数变换对和运算变换性质 利用定义积分,很容易建立起原函数 f(t)和象函数 F(s)间的变换对,以及f(t)在实数域内的运算与F(s)在复数域内的运算间的对应关系.表1和表2分别列出了最常用的一些函数变换对和运算变换性质.