一道近世代数题目设G是一个具有乘法运算的非空有限集合,证明:如果G满足结合律,有左单位元,且右消去律成立,则G是一个群
问题描述：
一道近世代数题目
设G是一个具有乘法运算的非空有限集合,证明:如果G满足结合律,有左单位元,且右消去律成立,则G是一个群
答
能证明出来是不对的,原因如下:
我们举例G={Z*,*},Z*表示去掉0的整数集合,*表示普通乘法,这个集合满足结合律,有单位元1,而且满足右消去律,但是没有逆元,所以不是个群!
答
设e为左单位元
则对任意x属于G有ex=x
特别的,ee=e
所以对任意的x属于G,有xe=xee
而右消去率成立,所以上式两端的e可以去掉,得x=xe
即e也是右单位元
所以G中存在单位元e
由于G是有限集,设G={x1,x2,...,xn}
对于任意a属于G,由右消去率知x1a,x2a,...,xna肯定各不相同.所以他们之中必有一个等于e.即某xka=e.所以xk是a的左逆.即每个a都存在左逆.所以左消去率必然也成立.
所以,G是群
-------------
ls的大哥请看清题目再作答,G是有限集