急求一道高等代数证明题!已知f(x),g(x).h(x)是数域F上的多项式,且适合{(x的平方+1)h(x)+xf(x)+x的立方g(x)=0{(x的平方+1)h(x)+x的平方f(x)+x的平方g(x)=0证明(x的平方+1)|(f(x),g(x))

问题描述:

急求一道高等代数证明题!
已知f(x),g(x).h(x)是数域F上的多项式,且适合
{(x的平方+1)h(x)+xf(x)+x的立方g(x)=0
{(x的平方+1)h(x)+x的平方f(x)+x的平方g(x)=0
证明(x的平方+1)|(f(x),g(x))

如果“数域”是指Q、R、C之一的话,可以用同余的观点来证:
第一个等式说明 xf+x^3g≡0 [mod (x^2+1)],而x^3≡-x [mod (x^2+1)],于是xf-xg≡0 [mod (x^2+1)]。此时,由于x与x^2+1互质,可将它从等式两边除去,得到:f-g≡0 [mod (x^2+1)];
第二个等式说明 x^2f+x^2g≡0 [mod (x^2+1)],而x^2≡-1 [mod (x^2+1)],于是-f-g≡0 [mod (x^2+1)]。
综合上述两个同余式,相加可得
-2g≡0 [mod (x^2+1)]
两边除以-2,得到g≡0 [mod (x^2+1)],即(x^2+1)|g;代回上述任一式,得到(x^2+1)|f,即证。
对于一般的域F,必须要求F的特征不等于2,否则结论不成立。

你要证明的问题没看明白,也许是因为我手机显示不正常
根据两个已知条件将f(x).g(x)用h(x)及x表示出来,结果要证明什么,直接带入就可以求解了.