“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．（Ⅰ）求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；（Ⅱ）若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列及其期望．
问题描述：
“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
（Ⅰ）求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
（Ⅱ）若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列及其期望．
答
EX＝0×
+1×
+2×
+3×
＝1．
答案解析：（I）由题意利用列举法得玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布），而玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：（石头，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头），利用古典概型随机事件地概率公式即可；
（II）由题意由于X表示玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数，由题意取值为0，1，2，3，利用随机变量分布列定义及期望公式即可．
考试点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．
知识点：此题考查了学生准确理解题意的能力和计算的能力，还考查了古典概型随机事件的概率公式，组合数，及离散型随机变量的定义及分布列，并利用分布列求其期望．
（Ⅰ）玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布）．
共有9个基本事件，
玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：（石头，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头），共有3个．
所以，在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P＝
＝3 9
．1 3
（Ⅱ）X的可能取值分别为0，1，2，3．
P(X＝0)＝
•(
C
0
3
)3＝2 3
，P(X＝1)＝8 27
•(
C
1
3
)1•(1 3
)2＝2 3
，P(X＝2)＝12 27
•(
C
2
3
)2•(1 3
)1＝2 3
，P(X＝3)＝6 27
•(
C
3
3
)3＝1 3
．1 27
X的分布列如下：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 8 |
| 27 |
| 12 |
| 27 |
| 6 |
| 27 |
| 1 |
| 27 |
答案解析：（I）由题意利用列举法得玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：（石头，石头）；（石头，剪刀）；（石头布）；（剪刀，石头）；（剪刀，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头）；（布，剪刀）；（布，布），而玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：（石头，剪刀）；（剪刀，布）；（布，石头），利用古典概型随机事件地概率公式即可；
（II）由题意由于X表示玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数，由题意取值为0，1，2，3，利用随机变量分布列定义及期望公式即可．
考试点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．
知识点：此题考查了学生准确理解题意的能力和计算的能力，还考查了古典概型随机事件的概率公式，组合数，及离散型随机变量的定义及分布列，并利用分布列求其期望．