(积分)设函数f在区间[0,1]上可微,且满足1/2f(1)=∫（1/2,0）xf(x)dx(其中∫(1/2,0)表示定积分在[0,1/2]上),证明至少存在一点a属于（0,1）,使f '(a)=-f(a)/a急,在线等!追加悬赏!
问题描述：
(积分)设函数f在区间[0,1]上可微,且满足1/2f(1)=∫（1/2,0）xf(x)dx
(其中∫(1/2,0)表示定积分在[0,1/2]上),证明至少存在一点a属于（0,1）,使f '(a)=-f(a)/a
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答
即af'(a)+f(a)=0注意到左边＝[xf(x)]'|x=a ,转化为证此函数的导函数有零点,当然用罗尔中值定理,只需证明函数有两点值相同即可现在有1/2f(1)=∫（1/2,0）xf(x)dx构造g(x)=∫（x,0）tf(t)dtg(1/2)=1/2f(1)g'(x)=xf(x),...