设∑是由旋转抛物面z=x^2+y^2,平面z=0及平面z=1所围成的区域,求三重积分∫∫∫(x^2+y^2+z)dxdydz.我用三种不同方法解.积分结果不一样,帮我指正下.由题意可知：x^2+y^2 解法1：∫∫dxdy∫[1,x^2+y^2](x^2+y^2+z)dz=∫∫(x^2+y^2+1/2-3/2(x^2+y^2)^2)dxdy然后用极坐标计算二重积分 结果是π/2解法2：用z=z(常数)去截取积分区域 0 Dz=∫∫dxdy 是在OXY投影面积=πz将x^2+y^2=z代入积分式原式=∫∫∫2zdxdydz=2∫zdz ∫∫dxdy=2π∫[0,1]z^2dz =2π/3解法3：将x^2+y^2=z代入积分式原式=2∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz=2∫∫dxdy ∫[1,x^2+y^2](x^2+y^2)dz=2∫∫(x^2+y^2-(x^2+y^2)^2)dxdy在用极坐标求二重积分结果=π/3上那个解法是对的?错的解法为什么错误?帮我指正下.

设∑是由旋转抛物面z=x^2+y^2,平面z=0及平面z=1所围成的区域,求三重积分∫∫∫(x^2+y^2+z)dxdydz.
我用三种不同方法解.积分结果不一样,帮我指正下.
由题意可知：x^2+y^2 解法1：
∫∫dxdy∫[1,x^2+y^2](x^2+y^2+z)dz
=∫∫(x^2+y^2+1/2-3/2(x^2+y^2)^2)dxdy
然后用极坐标计算二重积分 结果是π/2
解法2：用z=z(常数)去截取积分区域 0 Dz=∫∫dxdy 是在OXY投影面积=πz
将x^2+y^2=z代入积分式
原式=∫∫∫2zdxdydz
=2∫zdz ∫∫dxdy
=2π∫[0,1]z^2dz =2π/3
解法3：
将x^2+y^2=z代入积分式
原式=2∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz
=2∫∫dxdy ∫[1,x^2+y^2](x^2+y^2)dz
=2∫∫(x^2+y^2-(x^2+y^2)^2)dxdy
在用极坐标求二重积分
结果=π/3
上那个解法是对的?
错的解法为什么错误?帮我指正下.