已知：函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(-∞,0)是增函数,在(0,2)是减函数,且方程f(x)=0有三个根,从小到大依次为m,2,n.求|m-n|的取值范围.
问题描述：
已知：函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(-∞,0)是增函数,在(0,2)是减函数,且方程f(x)=0有三个根,从小到大依次为m,2,n.求|m-n|的取值范围.
答
f'(x)=3x^2+2bx+c
f'(0)=c=0
f'(2)=12+4b+c≤0
f(2)=8+4b+2c+d=0
得
b≤-3,c=0,d=-8-4b
f(x)=x^3+bx^2-8-4b=(x-2)(x^2+(b+2)x+2b+4)
|m-n|=√(b^2-4b-12)=√[(b-2)^2-16]≥3
故|m-n|的取值范围为（3，+∞）
答
函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在(-∞,0)是增函数,在(0,2)是减函数,可知x=0是f'(x)=0的根f'(x)=3x^2+2bx+c=0c=0故：f(x)=x^3+bx^2+d又2是f(x)=0的根,得：4b+d=-8由于f(x)=0有三个根设f(x)=(x-m)(x-2)(x-n)=x^3-(2+m+n)x^2+(...