高数的一道中值定理证明题不管b取何值,方程x(立方）-3x+b=0在区间[-1,1]上之多有一个实根

解:令F(X)=x(立方）-3x+b,则F^(X)=3X(平方)-3
令F^(X)=0,则X=+_1所以在区间[-1,1]上递增.又
F(-1)=2+B F(1)=B-2 F(-1)所以B

设f(x)＝x^3－3x＋b，f'(x)＝3x^2－3. 当x∈(-1,1)时，f'(x)＜0，即f(x)在（-1,1）上单调减少.
x=1时，f(x)＝b-2,
x=-1时,f(x)＝b+2,
f(1)所以f(x)在 [-1,1]上单调减少；
所以方程x^3－3x＋b=0在区间[-1,1]上至多有一个实根。
当f(1)=0,,即b∈[-2,2],根据零点定理，存在x∈[-1,1]，使得f(x)=0，即x^3－3x＋b=0成立。

首先,一元三次代数方程一定有实数根.
其次,设f(x)＝x^3－3x＋b,f'(x)＝3x^2－3.当x∈(-1,1)时,f'(x)＜0,即f(x)在[-1,1]上单调减少.
所以方程x^3－3x＋b=0在区间[-1,1]上至多有一个实根