设函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a>1),且f(x)的最小值为3,若f(x)≤5,则x的取值范围是 ______.

问题描述:

设函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a>1),且f(x)的最小值为3,若f(x)≤5,则x的取值范围是 ______.

∵函数f(x)=|x-4|+|x-a|≥|x-4+a-x|=|a-4|,
∵f(x)的最小值为3,
∴|a-4|=3,
∴a=1或7,∵a>1,
∴a=7,
∴f(x)=|x-4|+|x-7|≤5,
①若x≤4,f(x)=4-x+7-x=11-2x≤5,解得x≥3,故3≤x≤4;
②若4<x<7,f(x)=x-4+7-x=3,恒成立,故4<x<7;
③若x≥7,f(x)=x-4+x-7=2x-11≤5,解得x≤8,故7≤x≤8;
综上3≤x≤8,
故答案为:3≤x≤8.
答案解析:利用不等式的性质对|x-4|+|x-a|进行放缩,求出其用a表示的最小值,因为f(x)的最小值为3,从而求出a值,把f(x)代入f(x)≤5,然后进行分类讨论求解.
考试点:绝对值不等式.
知识点:此题考查绝对值不等式的放缩问题及函数的恒成立问题,这类题目是高考的热点,难度不是很大,要注意不等号进行放缩的方向.