如果关于实数x的方程ax2+1x＝3x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为（ ）A. {a|-2≤a≤2}B. {a|a≤0或a=2}C. {a|a≥2或a＜-2}D. {a|a≥0或a=-2}
问题描述：
如果关于实数x的方程ax2+
＝3x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为（ ）1 x
A. {a|-2≤a≤2}
B. {a|a≤0或a=2}
C. {a|a≥2或a＜-2}
D. {a|a≥0或a=-2}
答
关于实数x的方程ax2+
＝3x的所有解中，仅有一个正数解⇔a＝1 x
−3 x
有且仅有一个正实数解．1 x3
令
＝t(t≠0)，t的符号与x的符号一致，则a=-t3+3t有且仅有一个正实数解，1 x
令f（t）=-t3+3t（t≠0），
f′（t）=-3t2+3，由f′（t）=0得t=1或t=-1．
又t∈（-1，1）时，f′（t）＞0；t∈（-∞，-1），（1，+∞）时，
f′（t）＜0．所以[f（t）]极大值=f（1）=2．
又t→-∞，f（t）→+∞；t→+∞，f（t）→-∞．
结合三次函数图象即可．
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，0]∪{2}．
故选B．
答案解析：原条件⇔a＝
−3 x
有且仅有一个正实数解，令1 x3
＝t(t≠0)，t的符号与x的符号一致，则a=-t3+3t有且仅有一个正实数解，然后通过导数研究函数的单调性和极值，画出函数图象，结合图象可求出a的取值范围．1 x
考试点：根的存在性及根的个数判断．
知识点：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，以及三次函数的性质，同时考查了数形结合与函数方程的思想，属于中档题．