柯西定理证明题设g(x)在[x1,x2]上可导,且x1 x2>0,试证至少存在一点m∈（x1,x2）,使得[x1g(x2)-x2g(x1)]/(x1-x2)=g(m)-mg'(m)
问题描述：
柯西定理证明题
设g(x)在[x1,x2]上可导,且x1 x2>0,试证至少存在一点m∈（x1,x2）,使得
[x1g(x2)-x2g(x1)]/(x1-x2)=g(m)-mg'(m)
答
证明：
记f(x)=g(x)/x,h(x)=1/x,显然两函数在[x1,x2]上满足柯西中值定理条件
可知至少存在一点m∈(x1,x2)使得
[f(x1)-f(x2)]/[(h(x1)-h(2)]=f'(m)/h'(m)
即[g(x1)/x1-g(x2)/x2]/[1/x1-1/x2]=[(mg'(m)-g(m))/m^2]/(-1/m^2)
整理即有[x1g(x2)-x2g(x1)]/(x1-x2)=g(m)-mg'(m)
命题得证.