已知z为虚数，z+9z−2为实数．（1）若z-2为纯虚数，求虚数z；（2）求|z-4|的取值范围．
问题描述：
已知z为虚数，z+
为实数．9 z−2
（1）若z-2为纯虚数，求虚数z；
（2）求|z-4|的取值范围．
答
知识点：本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，复数求模，属于基础题．
（1）设z=x+yi（x，y∈R，y≠0），则z-2=x-2+yi，由z-2为纯虚数得x=2，∴z=2+yi，…（2分）则 z+9z−2＝2+yi+9yi＝2+(y−9y)i∈R，…（4分）得y−9y＝0，y=±3，…（6分） 所以z=2+3i或z=2-3i．…...
答案解析：（1）设z=x+yi（x，y∈R，y≠0），根据z-2为纯虚数求得x的值，再由z+
为实数求出y的值，即得虚数z．9 z−2
（2）由z+
为实数且y≠0 可得（x-2）2+y2=9，由此求得x的范围，根据复数的模的定义把要求的式子可化为9 z−2
，从而得到
21−4x
的范围．
21−4x
考试点：复数求模；复数的基本概念．
知识点：本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，复数求模，属于基础题．