已知一元二次方程ax²-√2bx+c=0的两个根满足 |x1-x2| =√2,且a,b,c分别是三角形ABC的角A,角B,角C的对边.证明方程的两个根都是正根,若a＝c,求∠B的∠度数.
问题描述：
已知一元二次方程ax²-√2bx+c=0的两个根满足 |x1-x2| =√2,且a,b,c分别是三角形ABC的角A,角B,角C的对边.证明方程的两个根都是正根,若a＝c,求∠B的∠度数.
答
120
答
(1).
x1x2=c/a>0
x1+x2=-b/a=√2b/a>0
∴x1>0 x2>0
(2).
根据正弦定理
sinAx²-√2sinBx+sinA=0
其中2√Δ=√2
∴Δ=2sin²B-4sin²A=1/2
又有B=π-2A
∴8(sin²Acos²A)-4sin²A=1/2
∴sinA=±1/2
又∵π-2A>0
∴A=30° B=120°
答
(1）△=2b^2-4ac,
|x1-x2|=（√△）/|a|=√2,
∴△=2a^2>0,又x1+x2=b(√2)/a>0,x1x2=c/a>0,
∴x1>0,且x2>0.
（2）若a=c,则b^2=3a^2,
∴cosB=(2a^2-b^2)/(2a^2)=-1/2.
∴B=120°.
答
mn.