如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点, (1)求证:FH∥平面EDB; (2)求证:AC⊥平面EDB; (3)求四面体B-DEF的体积.

问题描述:

如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,

(1)求证:FH∥平面EDB;
(2)求证:AC⊥平面EDB;
(3)求四面体B-DEF的体积.

(1)证明:设AC与BD交于G,则G为AC的中点.连接EG,GH,
由于H为BC的中点,故GH

.
1
2
AB,又EF
.
1
2
AB

∴四边形EFGH为平行四边形,
∴FH∥平面EDB;
(2)证明:由四边形ABCD是正方形,有AB⊥BC,又EF∥AB,
∴EF⊥BC,而EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC,
∴EF⊥FH,∴AB⊥FH,
又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC,
∴FH⊥平面ABCD,∴FH⊥AC,又FH∥EG,∴AC⊥EG,
又AC⊥BD,EG∩BD=G
∴AC⊥平面EDB;
(3)∵EF⊥FB,∠BFC=90°,∴BF⊥平面CDEF,
∴BF为四面体B-DEF的高,
又BC=AB=2,∴BF=FC=
2
,S=
1
2
EF•FC=
1
2
×1×
2

四面体B-DEF的体积.VB-DEF=
1
3
×
1
2
×1×
2
×
2
=
1
3