数学之空间向量与立体几何5四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个平行四边形,向量AB={2,-1,-4},向量AD={4,2,0},向量AP={-1,2,-1}.（1）求证：PA⊥底面ABCD；（2）求四棱锥P-ABCD的体积；（3）对于向量a={x1,y1,z1},向量b={x2,y2,z2},向量c={x3,y3,z3},定义一种运算：（向量a×向量b)向量c=x1y2z3+x2y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1,试计算（向量AB×向量AD)向量AP的绝对值的值；说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系,并由此猜想向量这一运算（向量AB×向量AD）×向量AP的绝对值的几何意义.错了！不是x1y2z3+x2y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1，是x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1.

问题描述：

数学之空间向量与立体几何5
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个平行四边形,向量AB={2,-1,-4},向量AD={4,2,0},向量AP={-1,2,-1}.
（1）求证：PA⊥底面ABCD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）对于向量a={x1,y1,z1},向量b={x2,y2,z2},向量c={x3,y3,z3},定义一种运算：（向量a×向量b)向量c=x1y2z3+x2y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1,试计算（向量AB×向量AD)向量AP的绝对值的值；说明其与四棱锥P-ABCD体积的关系,并由此猜想向量这一运算（向量AB×向量AD）×向量AP的绝对值的几何意义.
错了！不是x1y2z3+x2y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1，是x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1.

答

第一问:设平面ABCD的法向量为X.Y.Z，将向量AB AD代入：2x-y-4z=0;4x+2y=0 两个式子一联立。令y=1 可将x.y.z求出再看一下是否与向量AP成熟量级的关系

答

恩，很难

答

嗯,这是开学前最后一道题了吧…… 也挺好的
1.向量AD*向量AP=0 向量AP*向量AD=0 ∴PA⊥底面ABCD
2.稍微有点复杂了 cos=(AB*AD)/(|AB|*|AD|) 再求出正弦值然后底面积就是|AB|*|AD|*sin 再乘以PA的模长再乘以1/3 答案是16
3.代入计算就可以了啊我算的答案是48 几何意义嘛大概是以AB AD PA 为棱的棱柱的体积

答

天

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