一个大于等于5质数平方后减1一定能被24整除对吗?答案是有时可能,不知道是什么时候不能?那个不能时候的质数是多少?
问题描述：
一个大于等于5质数平方后减1一定能被24整除对吗?
答案是有时可能,不知道是什么时候不能?那个不能时候的质数是多少?
答
一定呀.
x^2-1 = (x-1)(x+1), x大于等于5的质数那么x就一定是奇数, 那么x-1和x+1就必定是两个连续的偶数..所以(x-1)(x+1)可以表示为2^(2n+1)...(n>0) 所以x^2-1一定是8的倍数.
另外x肯定不是3的倍数, 所以x-1和x+1必然有一个是3的倍数(连续三个整数肯定有个三的倍数). 所以x^2-1也一定是3的倍数
所以x^2-1,当x是大于等于5的质数时候, 一定能被24整出.
答
答案是错误的!
任何大于等于5的质数的平方减1都是24的倍数
证明：
设p是大于等于5的质数,由于大于等于5的质数一定是奇数,故存在整数k,使得p=2k+1,p^2=(2k+1)^2=4k(k+1)+1.
相邻两个整数k,(k+1)必有一个偶数,故p^2-1=4k(k+1)必能被8整除,另一方面,
相邻三个整数(p-1),p,(p+1)必有一个能被3整除,由于p是质数不能被3整除,故(p-1),(p+1)之一必有一个能被3整除,即p^2-1能被3整除,于是p^2-1能被24整除,即p的平方减1是24的倍数.