已知数列{an}是等差数列a1=1,a1+a2+a3+…a10=35,令bn=根号an开n次方,当n>=3时,求证bn>b(n+1)
问题描述：
已知数列{an}是等差数列a1=1,a1+a2+a3+…a10=35,令bn=根号an开n次方,当n>=3时,求证bn>b(n+1)
an是指通项公式
答
证明：易得{an}的通项公式为an=(5n+4)/9,则bn=[(5n+4)/9]^(1/n)
欲证bn>b(n+1) (n≥3),即证(5n+4)^(n+1)>9(5n+9)^n (n≥3)
再变形为求证[(5n+4)^(1/5)*(5n+9)^(4/5)]/9>[1+1/(n+4/5)]^(n+4/5)对于任意的n≥3恒成立.
当n=3时,只需考察(5n+4)^(n+1)>9(5n+9)^n,左式=130321>124416=右式,得证；
当n≥4时,考察变形式[(5n+4)^(1/5)*(5n+9)^(4/5)]/9>[1+1/(n+4/5)]^(n+4/5),左式单调递增,且左式≥[24^(1/5)*29^(4/5)]/9>3,右式=(1+1/t)^t右式也成立.
综合上述,当n≥3时,总成立(5n+4)^(n+1)>9(5n+9)^n,逆推即得bn>b(n+1)成立.