您的位置: 首页  >  作业答案  >  数学  >  设F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为_．

设F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为_．

分类: 作业答案 • 2021-11-20 10:00:53
问题描述：

设F1，F2是椭圆C：

x2
a2
+
y2
b2
＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，则椭圆的离心率为______．

答

∵F1，F2是椭圆C

x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，如图：
∴不妨令|AB|=3，|AF2|=4，再令|AF1|=x，由椭圆的定义得：|AF1|+|AF2|=2a，①|BF1|+|BF2|=2a②
①+②得：x+4+3-x+5=4a，
∴a=3，x=2．
在Rt△F1F2A中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，
∴4c2=4+16=20，
∴c=
5
．
∴椭圆的离心率为e=
5
3
．
故答案为：
5
3
．

相关推荐