数列x1=2,x2=2+1/x1,xn=2+1/x(n-1),求lim xn,n->无穷大
问题描述:
数列x1=2,x2=2+1/x1,xn=2+1/x(n-1),求lim xn,n->无穷大
答
xn=2+1/x(n-1),对此取n->无穷大的极限,并设lim xn=a,n->无穷大时,并且有lim x(n-1)=a;
则有a=2+1/a;
a^2-2a-1=0;
由于xn>0,所以a>0;
因此a=1+根号2;
即lim xn=1+根号2,n->无穷时
答
xn=2x(n-1)+1/x(n-1)
x(n-1)[xn-2]=1
把n记做∞项则
x(∞-1)[x∞-2]=1
因为∞-1→∞
所以把x(∞-1)记做x∞
得:x∞(x∞-2)=1
(x∞)^2-2x∞-1=0
x∞=a
a^2-2a-1=0
delta=8
a1=1-√2(舍),a2=1+√2
x∞=1+√2
因为∞-1≠∞
且x∞无决定值
所以x∞→1+√2
由于x∞→x(∞-1)
即limxn[n→∞]=1+√2