已知函数f(x)=13x3-4x+m在区间(-∞,+∞)上有极大值283.(1)求实常数m的值.(2)求函数f(x)在区间(-∞,+∞)上的极小值.
问题描述:
已知函数f(x)=
x3-4x+m在区间(-∞,+∞)上有极大值1 3
.28 3
(1)求实常数m的值.
(2)求函数f(x)在区间(-∞,+∞)上的极小值.
答
∴当x=-2时,f(x)取极大值,
∵函数f(x)=
x3-4x+m在区间(-∞,+∞)上有极大值
,
∴f(-2)=
+8+m=
,
解得m=4.
(2)由m=4,得f(x)=
x3-4x+4,
当x=2时,f(x)取极小值f(2)=-
.
答案解析:(1)由f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2),令f′(x)=0,解得x=-2,或x=2,列表讨论,能求出m=4.
(2)由m=4,得f(x)=
x3-4x+4,由此能求出函数f(x)在区间(-∞,+∞)上的极小值.
考试点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
知识点:本题考查函数的极大值和极小值的求法,考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.
(1)∵f(x)=
x3-4x+m,1 3
∴f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2),
令f′(x)=0,解得x=-2,或x=2,
列表讨论,得:
x | (-∞,-2) | -2 | (-2,2) | 2 | (2,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↑ | 极大值 | ↓ | 极小值 | ↑ |
∵函数f(x)=
1 |
3 |
28 |
3 |
∴f(-2)=
8 |
3 |
28 |
3 |
解得m=4.
(2)由m=4,得f(x)=
1 |
3 |
当x=2时,f(x)取极小值f(2)=-
4 |
3 |
答案解析:(1)由f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2),令f′(x)=0,解得x=-2,或x=2,列表讨论,能求出m=4.
(2)由m=4,得f(x)=
1 |
3 |
考试点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
知识点:本题考查函数的极大值和极小值的求法,考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.