已知数列{an}满足：a1＝a2−2a+2，an+1＝an+2(n−a)+1，n∈N*，当且仅当n=3时，an最小，则实数a的取值范围为（　　）A. （-1，3）B. (52，3)C. (52，72)D. （2，4）

答

由a_n+1=a_n+2（n-a）+1
得：a₂=a₁+2（1-a）+1
    a₃=a₂+2（2-a）+1
    a₄=a₃+2（3-a）+1
…
    a_n=a_n-1+2（n-1-a）+1
累加得：a_n=a₁+2[1+2+3+…+（n-1）-（n-1）a]+n-1
=a1+2

(n−1)n

2

−2(n−1)a+n−1
因为a1＝a2−2a+2，所以an＝a2−2a+2+n2−n−2an+2a+n−1=n²-2an+a²-1
设f(n)＝an＝n2−2an+a2−1，该函数开口向上，对称轴方程为n＝−

−2a

2

＝a，
因为n∈N^*，所以当

5

2

＜a＜

7

2

时，f（n）=a_n最小．
故选C．
答案解析：题目给出了数列的首项和递推式，且递推式符合a_n+1=a_n+f（n）型，所以首先运用累加的办法求出a_n的通项，然后结合函数思想求解使a₃取最小值时的a的范围．
考试点：数列的概念及简单表示法．
知识点：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力．提高学生分析问题和解决问题的能力．