特征多项式n重根与线性无关特征向量的关系今天在做题的时候发现了一个问题自己没有想通,在判断矩阵A能否相似对角化的过程中,我们常用充要条件即是否有n个线性无关的特征向量来判断.但是我今天看的一个解题过程,A是3阶矩阵,有2,2,3三个特征值,其中2显然是二重根了,问题就在题目中判断二重根2有2个线性无关的特征向量之后就没有判断另外一个特征值是否有特征向量,直接讲A有3个线性无关的特征向量了.另外一题更甚：n阶矩阵的特征多项式有n-1重根0和一个解a,题目也是直接判断n-1重根有n-1线性无关的特征向量后就说明A有n个线性无关的特征向量.我想问这直接判断的依据是什么?来源于什么?PS：怎么发出大家都能看到的图片?我用mathtype编辑好的图片好像上传上来之后不能预览,只能下载之后才能看,好麻烦.能直接在贴子上贴图片么?
问题描述：
特征多项式n重根与线性无关特征向量的关系
今天在做题的时候发现了一个问题自己没有想通,在判断矩阵A能否相似对角化的过程中,我们常用充要条件即是否有n个线性无关的特征向量来判断.但是我今天看的一个解题过程,A是3阶矩阵,有2,2,3三个特征值,其中2显然是二重根了,问题就在题目中判断二重根2有2个线性无关的特征向量之后就没有判断另外一个特征值是否有特征向量,直接讲A有3个线性无关的特征向量了.另外一题更甚：n阶矩阵的特征多项式有n-1重根0和一个解a,题目也是直接判断n-1重根有n-1线性无关的特征向量后就说明A有n个线性无关的特征向量.我想问这直接判断的依据是什么?来源于什么?PS：怎么发出大家都能看到的图片?我用mathtype编辑好的图片好像上传上来之后不能预览,只能下载之后才能看,好麻烦.能直接在贴子上贴图片么?
答
单重的特征值必然有一个属于它的线性无关的特征向量(这是由于(A-λE)X=0有非零解)
所以只需考虑k重(k>1)的特征值是否有属于它的k个线性无关的特征向量
所以你提到的例题的做法是正确的
另: 可以上传图片, 只是显示滞后, 要等一会