从双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的关系为(  )A. |MO|-|MT|>b-aB. |MO|-|MT|<b-aC. |MO|-|MT|=b-aD. |MO|-|MT|与b-a无关

问题描述:

从双曲线

x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于P点,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|-|MT|与b-a的关系为(  )
A. |MO|-|MT|>b-a
B. |MO|-|MT|<b-a
C. |MO|-|MT|=b-a
D. |MO|-|MT|与b-a无关

如图所示,作业帮
设F′是双曲线的右焦点,连接PF′.
∵点M,O分别为线段PF,FF′的中点.
由三角形的中位线定理可得:
|OM|=

1
2
|PF′|=
1
2
(|PF|-2a)=
1
2
|PF|-a
=|MF|-a,
∴|OM|-|MT|=|MF|-|MT|-a=|FT|-a,
连接OT,则OT⊥FT,在Rt△FOT中,|OF|=c,|OT|=a,
∴|FT|=
|OF|2-|OT|2
=
c2-a2
=b.
∴|OM|-|MT|=b-a.
故选:C.
答案解析:如图所示,设F′是双曲线的右焦点,连接PF′.利用三角形的中位线定理和双曲线的定义可得:|OM|=
1
2
|PF′|=
1
2
(|PF|-2a)=
1
2
|PF|−a
=|MF|-a,于是|OM|-|MT|=|MF|-|MT|-a=|FT|-a,连接OT,则OT⊥FT,在Rt△FOT中,|OF|=c,|OT|=a,可得|FT|=
|OF|2−|OT|2
=b.即可得出关系式.
考试点:双曲线的简单性质.
知识点:本题综合考查了双曲线的定义及其性质、三角形的中位线定理、直线与圆相切的性质、勾股定理等基础知识与基本技能方法,考查了分析问题和解决问题的能力,属于难题.