如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AA′=AB=BC=1,∠ABC=90°.棱A′C′上有两个动点E,F,且EF=a (a为常数).(Ⅰ)在平面ABC内确定一条直线,使该直线与直线CE垂直;(Ⅱ)判断三棱锥B-CEF的体积是否为定值.若是定值,求出这个三棱锥的体积;若不是定值,说明理由.

问题描述:

如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AA′=AB=BC=1,∠ABC=90°.棱A′C′上有两个动点E,F,且EF=a (a为常数).

(Ⅰ)在平面ABC内确定一条直线,使该直线与直线CE垂直;
(Ⅱ)判断三棱锥B-CEF的体积是否为定值.若是定值,求出这个三棱锥的体积;若不是定值,说明理由.

(Ⅰ)取AC中点D,连接BD.
∵AB=BC,∴△ABC为等腰三角形,D为底边AC中点,∴BD⊥AC.
∵ABC-A′B′C′是直三棱柱,∴AA′⊥平面ABC,
∵BD⊂平面ABC,∴BD⊥AA′.
又AA′∩AC=A,∴直线BD⊥平面ACC′A′.
∵CE⊂平面ACC′A′,∴BD⊥CE
∴直线BD即为所求.------(5分)
(Ⅱ)∵ABC-A′B′C′是直三棱柱,
∴CC′⊥平面A′B′C′,
∵EF⊂平面A′B′C′,∴CC′⊥EF
∴△CEF的边EF上的高为线段CC′,
由已知条件得CC′=AA′=1,且EF=a(常数),
故△CEF的面积S=

1
2
EF•CC′=
1
2
a
由(Ⅰ)可知,BD⊥平面ACC′A′,故BD为三棱锥B-CEF的高.
在等腰三角形ABC中,可求得BD=
2
2

∴三棱锥B-CEF的体积V=
1
3
S•BD=
2
12
a
为定值.------(10分)
答案解析:(I)先取AC中点D,连接BD.利用△ABC为等腰三角形,得出BD⊥AC,再根据ABC-A′B′C′是直三棱柱,得到BD⊥AA′,利用线面垂直的判定定理得直线BD⊥平面ACC′A′从而有BD⊥CE,故直线BD即为所求.
(Ⅱ)根据ABC-A′B′C′是直三棱柱,有CC′⊥平面A′B′C′,利用线面垂直的性质定理得到CC′⊥EF,从而有△CEF的边EF上的高为线段CC′,从而得到△CEF的面积S是常数,由(Ⅰ)可知,BD⊥平面ACC′A′,故BD为三棱锥B-CEF的高,最后利用三棱锥的体积公式求出三棱锥B-CEF的体积V为定值.
考试点:棱柱、棱锥、棱台的体积;棱锥的结构特征.
知识点:本题主要考查了线面平行与线面垂直的判定定理的应用,注意线线关系与线面关系的相互转化,本题主要考查了应用面面垂直的性质证明线面垂直,以及三棱锥体积公式的应用.