如图,BD为三角形ABC的角平分线,CD为三角形ABC的外角角ACE的平分线,求角BDC与角A的数量关系.

解:因为角ACE=角A+角ABC.
角ACE=2角DCE,角ABC=2角DBC.
所以有:2角DCE=角A+2角DBC.
又:角DCE=角BDC+角DBC
故有:2(角BDC+角DBC)=2角DBC+角A
即:角A=2角BDC.

∠DCE=∠DBC+∠D
即∠D=∠DCE-∠DBC
∠ACE=∠ABC+∠A
即∠A=∠ACE-∠ABC
∵∠DCE=1/2∠ACE
∠DBC=1/2∠ABC
∴∠D=1/2*∠A

在∠ABD处标∠2，在DBC处标∠1，在∠ACD处标∠4，在∠DCE处标∠3
由外角定理得出
∵∠3=∠1+∠D
∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠A（三角形外角定理）
又∵∠3＝∠4 ∠1=∠2
2∠3=2∠1＋∠A
∴2（∠1+∠D）=2∠1+∠A
∴2∠2+2∠D=2∠1+∠A
∴2∠D=∠A 或∠D=二分之一∠A

将∠DCE标为∠1，∠DBE标为∠2
∵∠ACE是三角形的外角（已知）
∴∠ACE=∠A+∠ABC（三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角的和）
∴∠A=∠ACE-∠ABC
∵CD平分∠ACE（已知）
∴∠1=1/2∠ACE（角平分线定义）
∵BD平分∠ABD（已知）
∴∠2=1/2∠ABD（角平分线定义）
∵∠1是△BCD的外角（已知）
∴∠1= ∠2+∠D（三角形的一个外角等于与他不相邻的两个内角的和）
∴∠D=∠1- ∠2=1/2∠ACE-1/2∠ABD=1/2（∠ACE-∠ABD）
∵∠A=∠ACE-∠ABC（已证）
∴∠D=1/2∠A（等量代换）

∵CD平分∠ACE
∴∠ACD=∠ECD
∵∠ECD=∠CBD+∠D
∴2∠ECD=2∠CBD+2∠D
∵∠ABD=∠CBD
∴∠ACE=∠ABC+2∠D
∵∠ACE=∠ABC+∠A
∴∠A=2∠D