已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDF,其中D、G分别为斜边AB、EF的中点,连CE,又M为BC中点,N为CE的中点,连MN、MG(1)如图1,当DE恰好过M点时,求证:∠NMG=45°,且MG=2MN;(2)如图2,当等腰Rt△EDF绕D点旋转一定的度数时,第(1)问中的结论是否仍成立,并证明;(3)如图3,连BF,已知P为BF的中点,连CF与PN,若CF=6,直接写出PNCF=______.

问题描述:

已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDF,其中D、G分别为斜边AB、EF的中点,连CE,又M为BC中点,N为CE的中点,连MN、MG

(1)如图1,当DE恰好过M点时,求证:∠NMG=45°,且MG=

2
MN;
(2)如图2,当等腰Rt△EDF绕D点旋转一定的度数时,第(1)问中的结论是否仍成立,并证明;
(3)如图3,连BF,已知P为BF的中点,连CF与PN,若CF=6,直接写出
PN
CF
=______.

(1)连接CF、NG,如图,∴D、C、G三点共线,∴CE=CF,DE⊥BC,∵MN是直角三角形CME斜边上的中线,∴MN=12CE,又∵NG是三角形CEF的中位线,∴NG=12CF,∴NG=NM;∴MCGE四点共圆,又∠MEG=45°,∴∠MNG=90,即三角形...
答案解析:(1)连接NG、CF,由题意可得CE=CF,易证MCGE四点共圆,即MN=NG,根据圆周角和圆心角的关系,可得∠MNG=90,即可证得;
(2)连接CF,CD,BE,NG,易证△BDE≌△CDF,则BE=CF,根据三角形中位线的性质,可得MN=NG,∠GNC+∠MNC=90°,即△MNG是等腰直角三角形,即可证得;
(3)连接PD,DM,PD为三角形ABF中位线,PD平行AF,PD=

1
2
AF,在三角形ABC中,DM为中位线,DM=
1
2
AC,MN=
1
2
BE=
1
2
CF,D,M,N共线,DN=
1
2
(BC+CF),BC=AC,DP=DN,三角形DPN是等腰直角三角形,PN/CF=
2
PB
CF
=
2
2
(AC+CF)
CF
=
2
2
AC
CF
+1).
考试点:等腰直角三角形;旋转的性质;相似三角形的判定与性质.
知识点:本题主要考查了等腰直角三角形、旋转的性质、相似三角形的判定和性质,要熟练掌握等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具有所有三角形的性质,还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质,要注意根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质,借助辅助线来解答.